Exercice 2 : x-2√x

Soit :

$$g(x)=x-2\sqrt x, \qquad x\in[0,+\infty[.$$

On étudie sa restriction à $I=[1,+\infty[$.

1. Montre que $g$ est strictement croissante sur $I$.
2. Détermine $J=g(I)$.
3. Pose $t=\sqrt x$ avec $t\ge1$, puis résous :

$$y=t^2-2t=(t-1)^2-1.$$

4. Déduis $g^{-1}(y)$.

Comme $g(1)=-1$ et $g(x)\to+\infty$ :

$$J=[-1,+\infty[.$$

Correction de domaine. La formule contenant $\sqrt x$ n'est pas définie sur tout $\mathbb R$.