PropriétéCarte 9 sur 110% de la partie

Reconnaître une primitive de u′eᵘ

#primitives#integration

Construit sur :Tangente à la courbe de eˣ

Remarque — Primitives

Les fonctions primitives de la fonction $g(x) = u'(x)\, e^{u(x)}$ sont les fonctions de la forme :

G(x) = e^{u(x)} + c \; ; \quad (c \in \mathbb{R})

Exemple. On détermine les primitives de la fonction $f(x) = x\, e^{3x^2+1}$ .

Ce sont les fonctions de la forme :

F(x) = \dfrac{1}{6} e^{3x^2+1} + c

💡 Méthode Ici $u(x) = 3x^2 + 1$ , donc $u'(x) = 6x$ . Comme $f(x) = x\, e^{3x^2+1}$ ne contient que $x$ (et pas $6x$ ), on ajuste par un facteur $\dfrac{1}{6}$ pour faire apparaître exactement $u'(x) e^{u(x)}$ .

Remarque — Primitives

Les fonctions primitives de la fonction

g(x) = u'(x)\, e^{u(x)}

sont les fonctions de la forme :

G(x) = e^{u(x)} + c \; ; \quad (c \in \mathbb{R})

Exemple. On détermine les primitives de la fonction

f(x) = x\, e^{3x^2+1}

Ce sont les fonctions de la forme :

F(x) = \dfrac{1}{6} e^{3x^2+1} + c

💡 Méthode Ici $u(x) = 3x^2 + 1$ , donc $u'(x) = 6x$ . Comme $f(x) = x\, e^{3x^2+1}$ ne contient que $x$ (et pas $6x$ ), on ajuste par un facteur $\dfrac{1}{6}$ pour faire apparaître exactement $u'(x) e^{u(x)}$ .