Application : appartenance et distance nulle

Enonce. On considere le plan d'equation $(P):\ x+3y-5z+1=0$.

1. Est-ce que $A(1,1,1)\in(P)$ ? $1+3\times 1-5\times 1+1=4-5+1=0$ d'ou $A(1,1,1)\in(P)$.

2. Donner la distance $d\big(A,(P)\big)$.

1re methode. Puisque $A\in(P)$, le projete orthogonal de $A$ sur $(P)$ est $A$ lui-meme ($H=A$). Donc $AH=AA=0$, d'ou $d\big(A,(P)\big)=0$.

2e methode. En appliquant la formule : $d\big(A,(P)\big)=\frac{\big|1+3\times 1-5\times 1+1\big|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}+(-5)^{2}}}=\frac{|0|}{\sqrt{35}}=0$

Conclusion. $d\big(A,(P)\big)=0$.

On retrouve une propriété générale : $A\in(P)$ si et seulement si $d(A,(P))=0$.