Application complète : produit scalaire, normes et distance

Écris d’abord les coordonnées de $\vec{AB}$ : la distance $AB$ est la norme de ce vecteur, et non la norme de $A$ ou de $B$.

Enonce. Soient $\vec{u}(1,2,3)$ et $\vec{v}(5,7,4)$ deux vecteurs, et $A(1,5,7)$ et $B(2,9,8)$ deux points de l'espace $(\mathcal{E})$. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$, $\|\vec{u}\|$, $\|\vec{v}\|$ et $AB$.

Correction.

$\vec{u}\cdot\vec{v}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 5\\ 7\\ 4 \end{pmatrix}=1\times 5+2\times 7+3\times 4=31$

$\|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}\qquad\text{et}\qquad\|\vec{v}\|=\sqrt{5^{2}+7^{2}+4^{2}}=\sqrt{88}$

Comme $\vec{AB}\begin{pmatrix} 2-1\\ 9-5\\ 8-7 \end{pmatrix}=\vec{AB}\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 1 \end{pmatrix}$, on a $AB=\sqrt{1^{2}+4^{2}+1^{2}}=\sqrt{18}$.

Conclusion. $\vec{u}\cdot\vec{v}=31$, $\ \|\vec{u}\|=\sqrt{14}$, $\ \|\vec{v}\|=\sqrt{88}$ et $AB=\sqrt{18}$.