Activité guidée : faire apparaître la formule analytique

On prend $\vec{u}(x,y,z)=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ et $\vec{v}(x',y',z')=x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k}$, ainsi que les points $M(x,y,z)$, $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$.

1. On a $\vec{u}\cdot\vec{v}=(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})\cdot(x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k})$. En utilisant la linearite du produit scalaire, exprimer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ en fonction de $x,y,z$ et $x',y',z'$.

2. Ecrire $\|\vec{u}\|$ en fonction de $x,y,z$.

3. Donner la distance $AB=\|\vec{AB}\|$ en fonction des coordonnees de $A$ et de $B$.

4. En deduire la propriete.

Indication. Le repere etant orthonorme :

\qquad\text{et}\qquad \vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{k}=\vec{k}\cdot\vec{i}=0.$$

Développe les neuf termes. Six produits croisés valent $0$ et les trois carrés des vecteurs de base valent $1$. Il reste seulement $xx'+yy'+zz'$.