Puissance d'exposant rationnel

Définition

Soient $x$ un nombre réel strictement positif et $r$ un nombre rationnel tel que $\displaystyle r = \frac{p}{q}$ avec $(p\,;q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*}$.

On remarque que :

\qquad \text{et} \qquad \left(\sqrt[q]{x^p}\right)^q = x^p$$ donc : $$\sqrt[q]{x^p} = x^{\frac{p}{q}}$$ ## Propriétés Pour tous réels $x$, $y$ strictement positifs et pour tous nombres rationnels $m$, $n$ : - $x^n \times y^n = (xy)^n$ - $x^m \times x^n = x^{m+n}$ - $\left(x^m\right)^n = x^{mn}$ - $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$ - $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ - $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$ > **Remarque :** les règles de calcul sur les exposants rationnels sont les > mêmes que celles sur les exposants entiers.