Dérivation d'une fonction réciproque

Théorème

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, et $a \in I$.

• Si $f$ est dérivable sur $I$ et $(\forall x \in I);\ f'(x) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J = f(I)$ et on a : $(\forall x \in J);\quad \left(f^{-1}\right)'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}$

• Et si $f'(a) \neq 0$, alors : $\left(f^{-1}\right)'\big(f(a)\big) = \frac{1}{f'(a)}$

Lecture géométrique. Les pentes des tangentes aux points symétriques sont inverses : si l'une vaut $m\neq0$, l'autre vaut $\frac1m$.