Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone

Définition

Soient $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ et $J = f(I)$.

La fonction réciproque de $f$ est la fonction notée $f^{-1}$, définie sur $J$ à valeurs dans $I$, telle que : $f^{-1}(x) = y \iff f(y) = x \qquad \text{avec } x \in J \text{ et } y \in I$

Corollaires

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors :

1. $f$ admet une fonction réciproque notée $f^{-1}$ définie sur $J = f(I)$ à valeurs dans $I$.
2. $(\forall x \in I);\ f^{-1}(f(x)) = x$ et $(\forall y \in J);\ f(f^{-1}(y)) = y$.
3. La fonction $f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J = f(I)$ (de même sens de monotonie que $f$).
4. Dans un repère orthonormé, $(C_{f^{-1}})$ et $(C_f)$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice (la droite d'équation $y = x$).

Théorème (important)

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ et $k \in f(I)$, alors l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I$.