Formule des combinaisons et cas particuliers

Propriété

Le nombre des combinaisons de $p$ éléments (avec $p \in \{0,1,2,3,\dots\}$) parmi $n$ éléments est l'entier naturel :

$C_{n}^{p} = \frac{A_{n}^{p}}{p!} = \frac{n!}{(n-p)! \times p!} = \frac{\overbrace{n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-p+1)}^{p \text{ facteurs}}}{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times p}$

avec $0 \le p \le n$, $\ n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}$.

Calculatrice : touche nCr.

Cas particuliers : $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1 \qquad ; \qquad C_{n}^{1} = C_{n}^{n-1} = n$

Lecture des cas particuliers

• $C_n^0=1$ : une seule manière de ne choisir aucun élément, l’ensemble vide.
• $C_n^n=1$ : une seule manière de choisir tous les éléments.
• $C_n^1=n$ : choisir une personne parmi $n$.