Pourquoi diviser un arrangement par $p!$ ?

Un même groupe de $p$ éléments peut être ordonné de $p!$ façons. L’arrangement $A_n^p$ compte toutes ces écritures comme différentes, alors qu’une combinaison veut compter le groupe une seule fois.

Donc

$$C_n^p=\frac{A_n^p}{p!}.$$

En remplaçant $A_n^p$ par $\dfrac{n!}{(n-p)!}$, on obtient

$$C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}.$$