Propriétés de symétrie : fonctions paires et impaires

Cas des symétries

$f$ paire sur $[-a,a]$ (et positive sur $[0,a]$) :

$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^{a} f(x)\,dx \quad (\text{u.a})$

Remarque : $\displaystyle \int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_0^{a} f(x)\,dx$.

$f$ impaire sur $[-a,a]$ (et positive sur $[0,a]$) :

$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$

Remarque : $\displaystyle \int_{-a}^{0} f(x)\,dx = -\int_0^{a} f(x)\,dx$. L'aire, elle, vaut $\displaystyle 2\int_0^{a} f(x)\,dx$ (u.a).

Pour une fonction impaire, l’intégrale sur $[-a,a]$ vaut zéro par compensation. L’aire ne vaut pas zéro : elle additionne les deux régions symétriques.