Théorème : aire entre une courbe et l’axe des abscisses

Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et $(C_f)$ sa courbe dans le plan $(P)$ rapporté au repère orthogonal $(O,\vec i,\vec j)$.

Soit $(F)$ la partie du plan comprise entre la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.

L'aire $\mathcal{A}$ (la surface $S$) de la partie $(F)$ est :

$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,dx \times \|\vec i\|\times\|\vec j\| \quad (\text{u.a})$

Remarque : l'aire dépend du signe de $f(x)$ (voir carte suivante).

Dans un repère orthonormé d’unité $1$, la formule se réduit à

$$\boxed{\mathcal A=\int_a^b|f(x)|\,dx}.$$

La valeur absolue rend chaque contribution positive.