Application : moyenne de x² sur [0,3]

Soit $f(x)=x^2$ sur $[0,3]$.

1. Calculer la valeur moyenne $m_f$.
2. Déterminer le point $c\in[0,3]$ tel que $f(c)=m_f$.

Correction

$$m_f=\frac13\int_0^3x^2\,dx =\frac13\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 =\frac13\cdot9=3.$$

Puis

$$c^2=3.$$

Comme $c\in[0,3]$,

$$\boxed{c=\sqrt3}.$$