Pourquoi la valeur moyenne est comprise entre min f et max f

Si

$$m\leq f(x)\leq M \qquad(x\in[a,b]),$$

alors

$$m(b-a)\leq\int_a^bf(x)\,dx\leq M(b-a).$$

Comme $b-a>0$, on peut diviser par $b-a$ :

$$\boxed{m\leq m_f\leq M}.$$

Lorsque $f$ est continue, le théorème des valeurs intermédiaires assure qu’elle prend toute valeur comprise entre son minimum et son maximum. Elle prend donc la valeur $m_f$ en au moins un point $c$.