Définition : la moyenne d’une fonction sur [a,b]

Pour une fonction continue $f$ sur $[a,b]$, avec $a<b$, sa valeur moyenne est le nombre

$$\boxed{m_f=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx}.$$

La quantité $b-a$ est la longueur de l’intervalle. La formule généralise la moyenne de plusieurs nombres : on totalise les valeurs de $f$ par l’intégrale, puis on divise par la longueur étudiée.

Si $f(x)=k$ est constante, alors

$$m_f=\frac1{b-a}\int_a^bk\,dx=k.$$