Exemple complet : vₙ = f(uₙ) avec uₙ = cos(n)/n

Exemple

On considère la fonction $\displaystyle f(x) = \frac{5x - 6}{x + 3}$, la suite $\displaystyle u_n = \frac{\cos n}{n}$ ($n \geq 1$), et la suite $(v_n)_{n \geq 1}$ définie par $v_n = f(u_n)$.

1. Écrire $(v_n)$ en fonction de $n$

$v_n = f(u_n) = \frac{5u_n - 6}{u_n + 3} = \frac{5 \times \dfrac{\cos n}{n} - 6}{\dfrac{\cos n}{n} + 3} = \frac{5\cos n - 6n}{\cos n + 3n}$

Conclusion : $\displaystyle v_n = \frac{5\cos n - 6n}{\cos n + 3n}$.

2. Calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$

On a : $(\forall x \in \mathbb{R});\ -1 \leq \cos x \leq 1$, donc $(\forall n \in \mathbb{N}^{*});\ -1 \leq \cos n \leq 1$.

Par suite : $(\forall n \in \mathbb{N}^{*});\ -\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\cos n}{n} \leq \dfrac{1}{n}$, c'est-à-dire $-\dfrac{1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{1}{n}$.

Or $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$.

D'où : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ (d'après le théorème des gendarmes).

3. Déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$

On a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ et la fonction $f$ est continue en $0$ (car $f$ est continue sur $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$) et $v_n = f(u_n)$. Donc, d'après la propriété précédente, la limite de la suite $(v_n)$ est : $\lim_{n \to +\infty} v_n = f(0) = \frac{5(0) - 6}{0 + 3} = \frac{-6}{3} = -2$

Conclusion : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -2$.