Suite (vₙ) de la forme vₙ = f(uₙ)

Activité

On considère la fonction $f$ définie par $\displaystyle f(x) = \frac{2x - 5}{7x + 4}$ et la suite $(u_n)$ définie par $\displaystyle u_n = \frac{1}{n^3}$, $n \geq 1$. On considère la suite $(v_n)_{n \geq 1}$ définie par $v_n = f(u_n)$.

1. Écrire la suite $(v_n)$ en fonction du terme $u_n$, puis en déduire $v_n$ en fonction de $n$.
2. Calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$.
3. Si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$, en déduire une relation entre $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$, $f$ et $\ell$.

Propriété

Si une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ converge vers $\ell$ (c.-à-d. $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$) et si $f$ est une fonction continue en $\ell$, alors la suite $(v_n)_{n \geq n_0}$ définie par $v_n = f(u_n)$ est convergente vers $f(\ell)$, c'est-à-dire : $\lim_{n \to +\infty} v_n = f(\ell)$