À partir d'un certain rang

Pour rendre $\displaystyle u_n=\frac1{n+1}$ inférieur à $0{,}01$, on résout :

$$\frac1{n+1}<0{,}01 \iff n+1>100 \iff n>99.$$

Ainsi, à partir du rang $100$, tous les termes appartiennent à $]0,0{,}01[$.

Si l'on exige $0{,}001$, il faudra aller plus loin, mais ce sera encore possible.

La limite ne parle pas des premiers termes. Elle décrit le comportement définitif de la suite quand le rang devient très grand.