Exercice 2 : déterminer α et l

Soit :

$$g(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2+x-6}{\sqrt{2x+12}-4},&x>2,\\[6pt] \dfrac{x^2+\alpha x-\alpha+1}{x-2},&x<2,\\[6pt] l,&x=2. \end{cases}$$

Cherche $\alpha$ et $l$ pour que $g$ soit continue en $2$.

Plan de résolution.

1. Rationaliser la branche de droite et calculer sa limite.
2. Pour que la branche de gauche ait une limite finie, son numérateur doit s'annuler en $2$. Cette condition détermine $\alpha$.
3. Simplifier alors la branche de gauche.
4. Imposer :

$$\lim_{x\to2^-}g(x) = \lim_{x\to2^+}g(x) =l.$$

Compétence Bac. Transformer la continuité en conditions algébriques sur les paramètres.