Exercice 1 : valeur absolue au raccord

Étudier la continuité en $a=1$ de :

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{3x^2-x-2}{|4x-3|-1},&x\neq1,\\[6pt] \dfrac54,&x=1. \end{cases}$$

Étape 1. Près de $1$, $4x-3>0$, donc $|4x-3|=4x-3$.

Étape 2.

$$3x^2-x-2=(x-1)(3x+2),$$

et :

$$|4x-3|-1=4(x-1).$$

Pour $x\neq1$, la fraction devient $\frac{3x+2}{4}$, qui tend vers $\frac54=f(1)$.

Conclusion. $f$ est continue en $1$.