Pourquoi la constante apparaît

Si $F$ est une primitive de $f$ et si $C$ est un réel, alors

$$(F+C)'=F'+0=f.$$

Donc chaque fonction $F+C$ est encore une primitive de $f$.

Réciproquement, si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur le même intervalle $I$, alors

$$(G-F)'=G'-F'=f-f=0.$$

Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante. Ainsi $G-F=C$, donc $G=F+C$.

La constante n’est pas une convention ajoutée au hasard : elle est imposée par ce que la dérivation efface.