Deux plans : critères de parallélisme et d’orthogonalité

Deux plans parallèles ont des directions normales colinéaires. Deux plans orthogonaux ont des normales orthogonales.

Soient deux plans $(P_1):\ ax+by+cz+d=0\quad\text{de vecteur normal}\ \vec{n}(a,b,c)$ $(P_2):\ a'x+b'y+c'z+d'=0\quad\text{de vecteur normal}\ \vec{n}'(a',b',c')$

Parallelisme. $(P_2)\parallel(P_1)\iff \vec{n}\ \text{et}\ \vec{n}'\ \text{sont colineaires}$ $(P_2)\parallel(P_1)\iff \vec{n}'=\alpha\,\vec{n}\quad(\alpha\in\mathbb{R}^{*})$ $(P_2)\parallel(P_1)\iff \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}\quad(\text{denominateurs non nuls})$ $(P_2)\parallel(P_1)\iff \Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0$ ou $\Delta_x,\Delta_y,\Delta_z$ sont les determinants $2\times 2$ formes par les coordonnees de $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ (composantes du produit vectoriel $\vec{n}\wedge\vec{n}'$).

Orthogonalite. $(P_2)\perp(P_1)\iff \vec{n}'\cdot\vec{n}=0$