Dérivabilité sur un intervalle — Fonction dérivée

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

• On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$. Dans ce cas, la fonction qui à tout réel $x$ de $I$ associe le nombre dérivé de $f$ en $x$ est appelée fonction dérivée de $f$, notée $f'$.
• On dit que $f$ est dérivable sur $[a\,;b]$ si elle est dérivable sur $]a\,;b[$, dérivable à droite en $a$ et dérivable à gauche en $b$.

Propriétés

• Toute fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$.
• Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.
• Les deux fonctions sin et cos sont dérivables sur $\mathbb{R}$.
• La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.