Tangente verticale : pente infinie

Pour $f(x)=\sqrt{x}$ au bord $x=0$ :

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\frac{\sqrt{x}}{x} =\frac1{\sqrt{x}} \xrightarrow[x\to0^+]{}+\infty.$$

Il n'existe pas de nombre dérivé réel à droite en $0$, mais la courbe admet une demi-tangente verticale d'équation $x=0$.

Piège. « Quotient différentiel $\to\infty$ » ne signifie pas « dérivée égale à l'infini ». La dérivée, lorsqu'elle existe, est un réel.