Exemple fondamental : retrouver le volume de la boule unité

La courbe $y=\sqrt{1-x^2}$ est le demi-cercle supérieur de centre $O$ et de rayon $1$. Sa rotation autour de l’axe des abscisses engendre la boule unité.

Exemple 2

On considère la fonction $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ sur $[-1,1]$.

Calcul du volume $V$ du solide de révolution obtenu :

= \pi\int_{-1}^{1} \big(1 - x^2\big)\,dx$$ $$= \pi\left[x - \tfrac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{1} = \pi\left[\left(1 - \tfrac{1}{3}\right) - \left(-1 + \tfrac{1}{3}\right)\right] = \pi\left(\tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{3}\right) = \frac{4\pi}{3}\ \text{cm}^3$$ **Conclusion :** $\displaystyle V = \frac{4\pi}{3}\ \text{cm}^3$. C'est le volume d'une **boule de rayon $R = 1$**.