Propriétés des opérations sur les limites de suites

Propriété

Soient $(u_n)_{n \geq n_0}$ et $(v_n)_{n \geq n_0}$ deux suites numériques.

• Les opérations sur les suites sont les mêmes que les opérations sur les fonctions. Exemple : $(u_n)_{n \geq n_0} + (v_n)_{n \geq n_0} = (u_n + v_n)_{n \geq n_0}$.

• Les propriétés des opérations des limites de suites sont les mêmes que celles des fonctions.

  • Exemple 1 : si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \ell'$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \ell + \ell'$.
  • Exemple 2 : si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = -\infty$.

• Si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et $u_n > 0$, alors $\ell \geq 0$.

• Si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \ell'$ et $v_n \leq u_n$, alors $\ell' \leq \ell$.

Ces règles reprennent, pour les suites, les tableaux d'opérations sur les limites déjà vus pour les fonctions (somme, produit, quotient, et formes indéterminées).