Suite de la forme uₙ = qⁿ avec q ∈ ℝ

Pour $q^n$, deux informations suffisent : le signe de $q$ et la position de $|q|$ par rapport à $1$.

Propriété

• Si $q > 1$ alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
• Si $q = 1$ alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
• Si $-1 < q < 1$ alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
• Si $q \leq -1$ alors $q^n$ n'a pas de limite.

Exemples

• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 3^n = +\infty$, car $q = 3 > 1$.

• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$, car $-1 < q = \dfrac{1}{2} < 1$.

• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{2^n - 8^n}{9^n} = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{9}\right)^n - \left(\frac{8}{9}\right)^n = 0$

  car $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{9}\right)^n = 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{8}{9}\right)^n = 0$, puisque $-1 < \dfrac{2}{9} < 1$ et $-1 < \dfrac{8}{9} < 1$.

  Méthode : pour une expression $\dfrac{a^n - b^n}{c^n}$, on distribue la division sur chaque terme du numérateur en $c^n$, ce qui donne $\left(\dfrac{a}{c}\right)^n - \left(\dfrac{b}{c}\right)^n$, puis on applique la propriété ci-dessus à chaque terme.