Compter les puissances dans une somme

Dans

$$u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n,$$

il y a $n-p+1$ termes. Après avoir factorisé $u_p$, les puissances vont de $q^0$ à $q^{n-p}$ :

$$u_p(1+q+\cdots+q^{n-p}).$$

Le plus grand exposant vaut donc « nombre de termes moins $1$ ».

Cette observation explique pourquoi la formule de somme contient $q^{\,n-p+1}$.