La définition exacte de la limite

Avant les symboles, gardons l'idée :

On peut rendre $f(x)$ aussi proche que l'on veut de $L$, en prenant $x$ suffisamment proche de $a$, sans imposer $x=a$.

Soit $f$ définie sur un intervalle pointé de centre $a$ et soit $L\in\mathbb R$. On dit que $f$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $a$ si :

$$(\forall\varepsilon>0)(\exists\alpha>0)(\forall x\in\mathcal D_f) \left(0<|x-a|<\alpha\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon\right).$$

• $\varepsilon$ fixe la précision demandée autour de $L$ ;
• $\alpha$ indique à quel point $x$ doit être proche de $a$ ;
• $0<|x-a|$ exclut le point $x=a$.

À retenir pour le Bac. Apprends la formulation exacte, mais rattache-la toujours à l'image « proche en entrée $\Rightarrow$ proche en sortie ».