Inéquation guidée : résoudre puis intersecter

Exercice

Résoudre l'inéquation $(E') : \ln(2x) - \ln(x-1) \leq 0$.

Étape 1 — Domaine de définition $D_{E'}$.

D'après l'exercice précédent : $D_{E'} = \,]1,+\infty[$.

Étape 2 — Résolution dans $D_{E'}$.

$$\ln(2x) - \ln(x-1) \leq 0 \iff \ln(2x) \leq \ln(x-1)$$ $$\iff 2x \leq x - 1 \iff x \leq -1 \iff x \in \,]-\infty,-1]$$

Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

$$]-\infty,-1] \cap D_{E'} = \,]-\infty,-1] \cap \,]1,+\infty[ \,= \varnothing$$

Conclusion : l'inéquation $(E')$ n'a pas de solution, donc $S = \varnothing$.