Les cinq conséquences à ranger dans sa tête

Ne mémorise pas une liste isolée. Enchaîne les causes :

$$x>0 \Longrightarrow (\ln x)'=\frac1x>0 \Longrightarrow \ln \text{ est continue et strictement croissante}.$$

Conséquences

• $\ln 1 = 0$
• La fonction $f(x) = \ln x$ est définie sur $]0,+\infty[$.
• La fonction $f(x) = \ln x$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ (car $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$).
• La fonction $f(x) = \ln x$ est continue sur $]0,+\infty[$ (car la fonction logarithme népérien est dérivable).
• La fonction $f(x) = \ln x$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ (car $(\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0$).

On en déduit :

$$\forall a,b \in \,]0,+\infty[, \quad a < b \iff \ln(a) < \ln(b)$$ $$\forall a,b \in \,]0,+\infty[, \quad a = b \iff \ln(a) = \ln(b)$$