ExempleCarte 6 sur 100% de la partie

Exemple guidé : intégrer x ln(x)

#IPP#logarithme

Il faut dériver $\ln x$ , car sa dérivée $1/x$ se simplifie avec le facteur $x^2$ obtenu en intégrant $v'=x$ .

Calculons $\displaystyle J = \int_1^{e} x\ln(x)\,dx$ par intégration par parties.

On pose :

choisir	résultat
$u(x) = \ln x$	$u'(x) = \dfrac{1}{x}$
$v'(x) = x$	$v(x) = \dfrac{1}{2}x^2$

D'où :

= \frac{1}{2}\big(e^2\ln e - 1^2\ln 1\big) - \frac{1}{2}\int_1^{e} x\,dx$$ $$= \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}\left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_1^{e} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}\big(e^2 - 1^2\big) = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}$$ **Conclusion :** $\displaystyle J = \frac{1}{4}\big(e^2 + 1\big)$.

ExempleCarte 6 sur 100% de la partie

#IPP#logarithme

Il faut dériver $\ln x$ , car sa dérivée $1/x$ se simplifie avec le facteur $x^2$ obtenu en intégrant $v'=x$ .

Calculons $\displaystyle J = \int_1^{e} x\ln(x)\,dx$ par intégration par parties.

On pose :

choisir	résultat
$u(x) = \ln x$	$u'(x) = \dfrac{1}{x}$
$v'(x) = x$	$v(x) = \dfrac{1}{2}x^2$

D'où :

= \frac{1}{2}\big(e^2\ln e - 1^2\ln 1\big) - \frac{1}{2}\int_1^{e} x\,dx$$ $$= \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}\left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_1^{e} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}\big(e^2 - 1^2\big) = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}$$ **Conclusion :** $\displaystyle J = \frac{1}{4}\big(e^2 + 1\big)$.