ExempleCarte 5 sur 100% de la partie

Exemple guidé : intégrer x cos(x)

#IPP#trigonométrie

Le choix $u=x$ est efficace car $u'=1$ simplifie le produit. Le choix $v'=\cos x$ est efficace car sa primitive $v=\sin x$ est immédiate.

Calculons $\displaystyle I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x\,dx$ par intégration par parties.

On pose :

choisir	résultat
$u(x) = x$	$u'(x) = 1$
$v'(x) = \cos x$	$v(x) = \sin x$

D'où :

= \left(\tfrac{\pi}{2}\sin\tfrac{\pi}{2} - 0\cdot\sin 0\right) - \big[-\cos x\big]_0^{\frac{\pi}{2}}$$ $$= \tfrac{\pi}{2} + \left(\cos\tfrac{\pi}{2} - \cos 0\right) = \tfrac{\pi}{2} + (0 - 1) = \tfrac{\pi}{2} - 1$$ **Conclusion :** $\displaystyle I = \frac{\pi}{2} - 1$.

ExempleCarte 5 sur 100% de la partie

#IPP#trigonométrie

Le choix $u=x$ est efficace car $u'=1$ simplifie le produit. Le choix $v'=\cos x$ est efficace car sa primitive $v=\sin x$ est immédiate.

Calculons $\displaystyle I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x\,dx$ par intégration par parties.

On pose :

choisir	résultat
$u(x) = x$	$u'(x) = 1$
$v'(x) = \cos x$	$v(x) = \sin x$

D'où :

= \left(\tfrac{\pi}{2}\sin\tfrac{\pi}{2} - 0\cdot\sin 0\right) - \big[-\cos x\big]_0^{\frac{\pi}{2}}$$ $$= \tfrac{\pi}{2} + \left(\cos\tfrac{\pi}{2} - \cos 0\right) = \tfrac{\pi}{2} + (0 - 1) = \tfrac{\pi}{2} - 1$$ **Conclusion :** $\displaystyle I = \frac{\pi}{2} - 1$.