Les critères de convergence des suites

Les quatre critères ci-dessous formalisent une même idée : transférer un comportement connu vers une suite que l'on contrôle par des inégalités.

Critères

Soient $(u_n)_{n \geq n_0}$, $(v_n)_{n \geq n_0}$ et $(w_n)_{n \geq n_0}$ trois suites numériques telles qu'à partir d'un rang $p$, on ait, pour tout $n \geq p \geq n_0$ (avec $n \in \mathbb{N}$), $\alpha > 0$ et $\ell \in \mathbb{R}$ :

1. Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell$, alors : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ (Théorème des gendarmes pour les suites.)

2. Si $v_n \geq \alpha \cdot u_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, alors : $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$

3. Si $v_n \leq \alpha \cdot u_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$, alors : $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$

4. Si $|v_n - \ell| \leq \alpha \cdot u_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$, alors : $\lim_{n \to +\infty} v_n = \ell$