Exemples détaillés : polynôme et logarithme

Dans chaque exemple, repère d’abord la primitive utilisée. Observe ensuite l’ordre $F(b)-F(a)$.

Exemples

Calculons :

= \left[\tfrac{1}{3}x^3 - x^2\right]_0^1 = \left(\tfrac{1}{3}\cdot 1^3 - 1^2\right) - \left(\tfrac{1}{3}\cdot 0^3 - 0^2\right) = -\tfrac{2}{3}$$ $$\int_1^0 \big(x^2 - 2x\big)\,dx = \left[\tfrac{1}{3}x^3 - x^2\right]_1^0 = \left(\tfrac{1}{3}\cdot 0^3 - 0^2\right) - \left(\tfrac{1}{3}\cdot 1^3 - 1^2\right) = \tfrac{2}{3}$$ $$\int_2^{1+e} \frac{4}{x-1}\,dx = \int_2^{1+e} 4\cdot\frac{(x-1)'}{x-1}\,dx = \big[\,4\ln|x-1|\,\big]_2^{1+e} = 4\ln(1+e-1) - 4\ln(2-1) = 4$$ $$4\int_2^{1+e} \frac{1}{x-1}\,dx = 4\big[\,\ln|x-1|\,\big]_2^{1+e} = 4\big(\ln(1+e-1) - \ln(2-1)\big) = 4$$ **On remarque que :** $$\int_0^1 \big(x^2 - 2x\big)\,dx = -\int_1^0 \big(x^2 - 2x\big)\,dx$$ $$\int_2^{1+e} \frac{4}{x-1}\,dx = 4\int_2^{1+e} \frac{1}{x-1}\,dx$$ Les deux dernières égalités annoncent deux propriétés qui seront démontrées dans la partie suivante :

\int_b^a f(x),dx=-\int_a^b f(x),dx

$$et$$

\int_a^b \lambda f(x),dx =\lambda\int_a^b f(x),dx.

$$$$