Pourquoi le TVI est vrai

Soit $f$ continue sur $[a,b]$. D'après le théorème de l'image d'un segment :

$$f([a,b])=[m,M],$$

où $m$ et $M$ sont le minimum et le maximum de $f$ sur $[a,b]$.

Les valeurs $f(a)$ et $f(b)$ appartiennent à $[m,M]$. Tout nombre $\lambda$ compris entre elles appartient donc aussi à $[m,M]=f([a,b])$.

Par définition de l'image, il existe alors $c\in[a,b]$ tel que :

$$f(c)=\lambda.$$

Structure logique. Continuité → image sans trou → chaque valeur intermédiaire possède un antécédent.