Définition formelle avec epsilon

La continuité signifie que les sorties restent proches de $f(a)$ dès que les entrées sont suffisamment proches de $a$ :

$$(\forall\varepsilon>0)(\exists\alpha>0)(\forall x\in\mathcal D_f) \left( 0\le |x-a|<\alpha \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon \right).$$

Comparée à la définition de la limite :

• la valeur visée est maintenant $f(a)$ ;
• l'inégalité autorise $|x-a|=0$, car la fonction doit être définie au point.

Mémoire visuelle. Un petit intervalle horizontal autour de $a$ doit envoyer la courbe dans une bande verticale aussi fine que souhaitée autour de $f(a)$.