Cas 1 : les deux côtés ne se rejoignent pas

Considérons :

$$f(x)= \begin{cases} 2x^2+x,&x<1,\\ -x^2+2,&x\ge1. \end{cases}$$

$$\lim_{x\to1^-}f(x)=3 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=1.$$

Les deux limites sont différentes. Donc $\lim_{x\to1}f(x)$ n'existe pas et $f$ n'est pas continue en $1$.

Diagnostic. On s'arrête dès que les deux côtés diffèrent.