Pourquoi le logarithme grandit lentement

Le fait essentiel est

$$\frac{\ln x}{x^n}\longrightarrow0 \qquad(n>0).$$

Cela ne signifie pas que $\ln x$ tend vers $0$. Il tend vers $+\infty$, mais sa taille devient négligeable devant $x^n$.

Image mentale. Les deux coureurs avancent sans borne ; la puissance distance pourtant le logarithme de plus en plus.