Étape 3 : dérivée et signe

$$f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.$$

Les racines du numérateur sont

$$\alpha=1-\sqrt2,\qquad \beta=1+\sqrt2.$$

Comme $(x-1)^2>0$ sur le domaine, $f'$ est positive hors de $[\alpha,\beta]$ et négative entre les racines, en tenant compte de la coupure $x=1$.

Garde les valeurs exactes $\alpha$ et $\beta$ dans le tableau.