Unicité de la primitive vérifiant une condition initiale

Propriété

Soit $F$ une primitive d'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$.

Soient $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$ : il existe une seule fonction primitive $G$ de $f$ qui vérifie la condition : $G(x_0) = y_0$

Exemple

Déterminer la fonction primitive de $f(x) = x^3 - 2x + 3$ qui prend la valeur $0$ (zéro) en $-1$.

Les primitives de $f$ sont de la forme : $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2 + 3x + c \qquad c \in \mathbb{R}$

Puisque $F(-1) = 0$ : $\frac{1}{4}(-1)^4 - (-1)^2 + 3(-1) + c = 0$

$\iff \frac{1}{4} - 1 - 3 + c = 0$

$\iff \frac{1}{4} - 4 + c = 0$

$\iff c = \frac{15}{4}$

Conclusion : la fonction primitive de $f(x) = x^3 - 2x + 3$ qui prend la valeur $0$ en $-1$ est : $G(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2 + 3x + \frac{15}{4}$