Appliquer les règles du cardinal sur trois exemples

Lis d’abord chaque zone en mots, puis effectue le calcul.

Exemple 1 — intersection et union

On prend $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ et $B=\{5,6,7,8,9,10\}$.

• $A\cap B=\{5,6,7\}$ : ce sont les $3$ éléments communs aux deux ensembles.
• $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ : ce sont les $10$ éléments présents dans au moins un des deux ensembles.

Le diagramme se lit zone par zone :

$\operatorname{card}(A)=4+3=7,\qquad \operatorname{card}(B)=3+3=6.$

Pour l’union, on additionne chaque zone une seule fois :

$\operatorname{card}(A\cup B)=4+3+3=10.$

Cela donne aussi $7+6-3=10$ : on retire l’intersection parce qu’elle figurait une fois dans $\operatorname{card}(A)$ et une fois dans $\operatorname{card}(B)$.

Exemple 2 — produit cartésien

Si $E=\{1,2\}$ et $F=\{a,b,c\}$, alors

$E\times F=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\}.$

Il y a $2$ choix pour la première coordonnée puis $3$ pour la seconde : $\operatorname{card}(E\times F)=2\times3=6$.

Exemple 3 — complémentaire dans un ensemble précisé

Soit $E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ et $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Alors

$\overline A=E\setminus A=\{8,9,10,11,12\}$

et $\operatorname{card}(\overline A)=12-7=5$.