Banque d'entraînement : 24 limites du support

Énoncé

Calculer les limites suivantes :

1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2 + 3x^2 - x^3$
2. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^3 - 2x + 5$
3. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(x^4 - 2x + 1\right)$
4. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 - 5}{x - x^2 + 9}$
5. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - 5}{x^2 - 6x + 9}$
6. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 1}{x^2 - 3x}$
7. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x^2}{4x^2 + 1}}$
8. $\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x + 1}{x^2 - 1}$
9. $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}$
10. $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^2 - 4x + 3}$
11. $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{4x + 5} - 3}{x - 1}$
12. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^2 + 3} - 2x$
13. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \sqrt{4x^2 + 3} + 2x$
14. $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$
15. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^2 + 3} - x$
16. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \sqrt{4x^2 + 3} + x$
17. $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x(x - 3)}{x - \sqrt{x + 1} - 1}$
18. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + x - 1} - 3x$
19. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x^2}$
20. $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + x + 3} + x - 5}{x - 2}$
21. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$
22. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$
23. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \cos x}{x}$
24. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos^2 x}{x^2 + 2}$

Indications générales

• Pour les limites en $\pm\infty$ de polynômes/fractions rationnelles : utiliser le terme de plus haut degré.
• Pour les formes $\frac{0}{0}$ : factoriser par $(x - a)$ ou utiliser la quantité conjuguée (racines).
• Pour les limites trigonométriques en $0$ : se ramener aux limites usuelles $\frac{\sin x}{x}$, $\frac{\tan x}{x}$, $\frac{1-\cos x}{x^2}$.
• Pour l'exercice 21 et 23 : penser au théorème des gendarmes / lemme d'encadrement (fonctions bornées comme $\sin$, $\cos$).

Organisation conseillée. Ne fais pas les 24 limites d'un seul bloc. Travaille par séries : 1–6 termes dominants, 7–18 racines et conjugués, 19–24 trigonométrie et encadrements.